5. Решите неравенство \( \frac{1}{5} \lg 32 + \lg x \le 2 \lg 3 \)

Решение:

1. Преобразуем левую часть неравенства, используя свойства логарифмов \( c \log_a b = \log_a b^c \) и \( \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) \):
   • \( \frac{1}{5} \lg 32 = \lg 32^{\frac{1}{5}} = \lg \sqrt[5]{32} = \lg 2 \)
   • \( \lg 2 + \lg x = \lg (2x) \)
2. Преобразуем правую часть неравенства:
   • \( 2 \lg 3 = \lg 3^2 = \lg 9 \)
3. Теперь неравенство имеет вид:
   • \( \lg (2x) \le \lg 9 \)
4. Так как логарифмическая функция \( \lg x \) является возрастающей, то для выполнения неравенства необходимо, чтобы аргументы были в том же соотношении:
   • \( 2x \le 9 \)
   • \( x \le \frac{9}{2} \)
5. Учтем, что аргумент логарифма должен быть больше нуля:
   • \( x > 0 \)
6. Объединяя оба условия \( x > 0 \) и \( x \le \frac{9}{2} \), получаем интервал:
   • \( 0 < x \le \frac{9}{2} \)

Ответ: \( (0; \frac{9}{2}] \).