9. На отрезке АВ выбрана точка С так, что АС = 75 и ВС = 10. Построена окружность с центром А, проходящая через С. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки В к этой окружности.

Решение:

Окружность с центром \( A \) проходит через точку \( C \). Следовательно, \( AC \) — радиус этой окружности.

\( R = AC = 75 \).

Точка \( B \) находится на прямой \( AC \) (так как \( C \) выбрана на отрезке \( AB \), и \( AC + CB = AB \) или \( AB + BC = AC \) или \( AC + AB = BC \). Из условия \( AC = 75 \) и \( BC = 10 \), то \( AB = AC - BC = 75 - 10 = 65 \) или \( AB = AC + CB = 75 + 10 = 85 \). Для построения касательной из точки \( B \) к окружности с центром \( A \) и радиусом \( R \), точка \( B \) должна быть вне окружности, т.е. \( AB > R \). В нашем случае \( R=75 \), поэтому \( AB \) не может быть \( 65 \). Следовательно, \( AB = 85 \) или \( AB = 75+10 \) - неверно. Надо рассмотреть случай, когда С лежит на продолжении АВ. Но если С на отрезке АВ, то \( AC+CB=AB \). \( 75+10 = 85 \). Точка B находится на расстоянии \( AB = 85 \) от центра \( A \). Радиус окружности \( R=75 \).

Пусть \( BK \) — касательная, проведенная из точки \( B \) к окружности, где \( K \) — точка касания.

\( AK \) — радиус окружности, \( AK = 75 \).

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной: \( AK \perp BK \). Следовательно, \( \triangle AKB \) — прямоугольный треугольник с прямым углом \( \angle AKB = 90^{\circ} \).

По теореме Пифагора:

\( AB^2 = AK^2 + BK^2 \)

\( 85^2 = 75^2 + BK^2 \)

\( 7225 = 5625 + BK^2 \)

\( BK^2 = 7225 - 5625 = 1600 \)

\( BK = \sqrt{1600} = 40 \).

Ответ: 40.