8. Отрезок AB = 48 касается окружности радиуса 14 с центром О в точке В. Окружность пересекает отрезок АО в точке D. Найдите AD. Рисунок б)

Дано:

• Отрезок AB касается окружности в точке B.
• Радиус окружности r = 14.
• \[ AB = 48 \]
• Окружность пересекает AO в точке D.

Найти:

• \[ AD \]

Решение:

Поскольку отрезок AB касается окружности в точке B, то радиус OB перпендикулярен касательной AB. Следовательно, \[ \angle ABO = 90^{\circ} \].

Рассмотрим прямоугольный треугольник \[ \triangle ABO \].

OB — радиус окружности, поэтому \[ OB = 14 \].

По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы AO:

\[ AO^2 = AB^2 + OB^2 \]

\[ AO^2 = 48^2 + 14^2 \]

\[ AO^2 = 2304 + 196 \]

\[ AO^2 = 2500 \]

\[ AO = \sqrt{2500} = 50 \]

Точка D лежит на отрезке AO, и OD является радиусом окружности, так как D находится на окружности.

\[ OD = 14 \]

Теперь найдем длину отрезка AD:

\[ AD = AO - OD \]

\[ AD = 50 - 14 \]

\[ AD = 36 \]

Ответ: 36