9. Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону U = U₀ cos(ωt + φ), где t — время в секундах, амплитуда U₀ = 2 В, частота ω = 150°/с, фаза φ = −90°. Датчик настроен так, что если напряжение в нём не ниже чем 1 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Решение:

1. Запишем закон изменения напряжения с подставленными значениями: \( U(t) = 2 \cos(150^{\circ}t - 90^{\circ}) \).
2. Лампочка загорается, когда \( U(t) \ge 1 \) В. Подставим это условие: \( 2 \cos(150^{\circ}t - 90^{\circ}) \ge 1 \).
3. Разделим обе части на 2: \( \cos(150^{\circ}t - 90^{\circ}) \ge \frac{1}{2} \).
4. Рассмотрим уравнение \( \cos(\alpha) = \frac{1}{2} \). Основные решения: \( \alpha = 60^{\circ} \) и \( \alpha = -60^{\circ} \) (или \( 300^{\circ} \)).
5. Следовательно, условие \( \cos(\alpha) \ge \frac{1}{2} \) выполняется, когда \( -60^{\circ} \le \alpha \le 60^{\circ} \) (в пределах одного периода).
6. Подставим \( \alpha = 150^{\circ}t - 90^{\circ} \): \( -60^{\circ} \le 150^{\circ}t - 90^{\circ} \le 60^{\circ} \).
7. Прибавим 90° ко всем частям неравенства: \( -60^{\circ} + 90^{\circ} \le 150^{\circ}t \le 60^{\circ} + 90^{\circ} \) \( \implies 30^{\circ} \le 150^{\circ}t \le 150^{\circ} \).
8. Разделим все части на 150°: \( \frac{30^{\circ}}{150^{\circ}} \le t \le \frac{150^{\circ}}{150^{\circ}} \) \( \implies 0.2 \le t \le 1 \).
9. Таким образом, в течение первой секунды (от \( t=0 \) до \( t=1 \)) лампочка горит в интервале времени от 0.2 с до 1 с.
10. Продолжительность этого интервала: \( 1 - 0.2 = 0.8 \) секунды.
11. Найдем, какую часть времени от первой секунды (1 секунда) это составляет: \( \frac{0.8}{1} = 0.8 \).
12. Переведем в проценты: \( 0.8 \cdot 100\% = 80\% \).

Ответ: 80%.