7. Найдите значение выражения (5^7)^4 : (125^4)^2.

Решение:

1. Применим свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \( (5^7)^4 = 5^{7 \cdot 4} = 5^{28} \).
2. Применим свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) и приведём основание 125 к виду \( 5^3 \): \( (125^4)^2 = ((5^3)^4)^2 = (5^{3 \cdot 4})^2 = (5^{12})^2 = 5^{12 \cdot 2} = 5^{24} \).
3. Разделим полученные степени: \( \frac{5^{28}}{5^{24}} \).
4. Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \): \( 5^{28-24} = 5^4 \).
5. Вычислим результат: \( 5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625 \).

Ответ: 625.