9. (2 балла). Решите уравнение: \( \frac{x+21}{x^2-9} - \frac{x}{x+3} = 0 \)

Решение:

Приведём дроби к общему знаменателю. Разложим \( x^2-9 \) как разность квадратов: \( x^2-9 = (x-3)(x+3) \).

Общий знаменатель: \( (x-3)(x+3) \).

Умножим вторую дробь на \( (x-3) \):

\( \frac{x+21}{(x-3)(x+3)} - \frac{x(x-3)}{(x-3)(x+3)} = 0 \)

Вычтем числители:

\( \frac{x+21 - x(x-3)}{(x-3)(x+3)} = 0 \)

\( \frac{x+21 - (x^2-3x)}{(x-3)(x+3)} = 0 \)

\( \frac{x+21 - x^2+3x}{(x-3)(x+3)} = 0 \)

\( \frac{-x^2 + 4x + 21}{(x-3)(x+3)} = 0 \)

Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Знаменатель не равен нулю, если \( x \neq 3 \) и \( x \neq -3 \).

Решим уравнение \( -x^2 + 4x + 21 = 0 \) или \( x^2 - 4x - 21 = 0 \).

Найдём дискриминант: \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100 \).

\( \sqrt{D} = 10 \).

Найдём корни:

\( x_1 = \frac{4 + 10}{2 \cdot 1} = \frac{14}{2} = 7 \)

\( x_2 = \frac{4 - 10}{2 \cdot 1} = \frac{-6}{2} = -3 \)

Значение \( x = -3 \) не подходит, так как знаменатель обращается в ноль.

Ответ: 7.