8. (4 балла) Теплоход прошел 108 км по течению реки и 84 км против течения, затратив на весь путь 8 часов. Найдите собственную скорость теплохода, если известно, что скорость течения реки 3 км/ч.

Решение:

Пусть \( v \) — собственная скорость теплохода (км/ч). Тогда:

• Скорость теплохода по течению: \( v + 3 \) км/ч.
• Скорость теплохода против течения: \( v - 3 \) км/ч.
• Время в пути по течению: \( t_1 = \frac{108}{v+3} \) часов.
• Время в пути против течения: \( t_2 = \frac{84}{v-3} \) часов.
• Общее время в пути: \( t_1 + t_2 = 8 \) часов.

Составим уравнение:

\[ \frac{108}{v+3} + \frac{84}{v-3} = 8 \]

Разделим обе части уравнения на 4 для упрощения:

\[ \frac{27}{v+3} + \frac{21}{v-3} = 2 \]

Приведём к общему знаменателю \( (v+3)(v-3) \):

\[ 27(v-3) + 21(v+3) = 2(v+3)(v-3) \]
\[ 27v - 81 + 21v + 63 = 2(v^2 - 9) \]
\[ 48v - 18 = 2v^2 - 18 \]
\[ 2v^2 - 48v = 0 \]
\[ 2v(v - 24) = 0 \]

Решения: \( v = 0 \) (не подходит, так как теплоход движется) или \( v = 24 \).

Проверим условие \( v > 3 \): \( 24 > 3 \).

Ответ: 24 км/ч