8. Вычислите определенный интеграл: ∫ from -1 to 2 of (2x - 3x² + 1) dx

Решение:

Сначала найдём первообразную для функции \( f(x) = 2x - 3x^2 + 1 \).

\( F(x) = \int (2x - 3x^2 + 1) dx = 2\frac{x^2}{2} - 3\frac{x^3}{3} + x + C = x^2 - x^3 + x + C \).

Теперь вычислим определённый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \).

\( \int_{-1}^{2} (2x - 3x^2 + 1) dx = [x^2 - x^3 + x]_{-1}^{2} \)

Подставим верхний предел интегрирования (x=2):

\( F(2) = 2^2 - 2^3 + 2 = 4 - 8 + 2 = -2 \)

Подставим нижний предел интегрирования (x=-1):

\( F(-1) = (-1)^2 - (-1)^3 + (-1) = 1 - (-1) - 1 = 1 + 1 - 1 = 1 \)

Вычислим разность:

\( F(2) - F(-1) = -2 - 1 = -3 \)

Ответ: -3