7. Найдите производную: (x³ · arcsinx)'

Решение:

Используем правило производной произведения двух функций \( (u · v)' = u'v + uv' \), где \( u = x^3 \) и \( v = \text{arcsin}x \>.

Найдем производные функций \( u \) и \( v \):

• \( u' = (x^3)' = 3x^2 \)
• \( v' = (\text{arcsin}x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)

Подставим найденные производные в формулу:

\( (x^3 · \text{arcsin}x)' = (3x^2) · \text{arcsin}x + x^3 · \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)

\( = 3x^2 \text{arcsin}x + \frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}} \)

Ответ: 3x²arcsinx + x³ / √(1 - x²)