8. Вычислить определенный интеграл \( \int_{-2}^{0} (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) dx \)

Решение:

Сначала найдём первообразную для подынтегральной функции \( f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \).

Используем правило интегрирования степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) и линейность интеграла:

• \( \int (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) dx = \int x^3 dx + 3 \int x^2 dx + 3 \int x dx + \int 1 dx \)
• \( = \frac{x^{3+1}}{3+1} + 3\frac{x^{2+1}}{2+1} + 3\frac{x^{1+1}}{1+1} + x + C \)
• \( = \frac{x^4}{4} + 3\frac{x^3}{3} + 3\frac{x^2}{2} + x + C \)
• \( = \frac{x^4}{4} + x^3 + \frac{3x^2}{2} + x + C \)

Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \), где \( F(x) \) — первообразная.

\( \int_{-2}^{0} (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) dx = \left[ \frac{x^4}{4} + x^3 + \frac{3x^2}{2} + x \right]_{-2}^{0} \)

Подставим верхний предел (0):

• \( F(0) = \frac{0^4}{4} + 0^3 + \frac{3(0)^2}{2} + 0 = 0 \)

Подставим нижний предел (-2):

• \( F(-2) = \frac{(-2)^4}{4} + (-2)^3 + \frac{3(-2)^2}{2} + (-2) \)
• \( = \frac{16}{4} + (-8) + \frac{3(4)}{2} - 2 \)
• \( = 4 - 8 + \frac{12}{2} - 2 \)
• \( = 4 - 8 + 6 - 2 \)
• \( = -4 + 6 - 2 \)
• \( = 2 - 2 \)
• \( = 0 \)

Теперь вычтем значение в нижнем пределе из значения в верхнем пределе:

• \( F(0) - F(-2) = 0 - 0 = 0 \)

Ответ: 0