4. 4 * (1/3)^x + (1/3)^(x+2) - 111 = 0

Решение:

Обозначим \( y = \left(\frac{1}{3}\right)^x \). Тогда \( \left(\frac{1}{3}\right)^{x+2} = \left(\frac{1}{3}\right)^x \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 = y \cdot \frac{1}{9} \).

Подставим это в исходное уравнение:

\( 4y + \frac{1}{9}y - 111 = 0 \)

Умножим всё уравнение на 9, чтобы избавиться от дроби:

\( 36y + y - 999 = 0 \)

\( 37y = 999 \)

\( y = \frac{999}{37} \)

\( y = 27 \)

Теперь вернёмся к замене \( y = \left(\frac{1}{3}\right)^x \):

\( \left(\frac{1}{3}\right)^x = 27 \)

Представим \( \frac{1}{3} \) как \( 3^{-1} \) и \( 27 \) как \( 3^3 \):

\( (3^{-1})^x = 3^3 \)

\( 3^{-x} = 3^3 \)

Приравниваем показатели степеней:

\( -x = 3 \)

\( x = -3 \)

Ответ: $$x = -3$$.