8. Вычислить определенный интеграл:

Решение:

Вычислим определенный интеграл:

\[ \int_1^2 (10x^4 - 2x + 3) dx \]

1. Найдем первообразную функции \( 10x^4 - 2x + 3 \):
2. \[ \int (10x^4 - 2x + 3) dx = 10 \frac{x^5}{5} - 2 \frac{x^2}{2} + 3x + C = 2x^5 - x^2 + 3x + C \]
3. Применим формулу Ньютона-Лейбница: \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \), где \( F(x) \) — первообразная.
4. \[ [2x^5 - x^2 + 3x]_1^2 \]
5. Подставим верхний предел интегрирования (x=2):
6. \[ 2(2)^5 - (2)^2 + 3(2) = 2(32) - 4 + 6 = 64 - 4 + 6 = 66 \]
7. Подставим нижний предел интегрирования (x=1):
8. \[ 2(1)^5 - (1)^2 + 3(1) = 2(1) - 1 + 3 = 2 - 1 + 3 = 4 \]
9. Вычтем значение при нижнем пределе из значения при верхнем пределе:
10. \[ 66 - 4 = 62 \]

Ответ: 62.