5. Вычислите предел:

Решение:

Вычислим предел:

\[ \lim_{x\to 1} \frac{x^2-2x+1}{7x-5-2x^2} \]

1. Подставим \( x=1 \) в числитель и знаменатель:
2. Числитель: \( 1^2 - 2(1) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0 \)
3. Знаменатель: \( 7(1) - 5 - 2(1)^2 = 7 - 5 - 2 = 0 \)
4. Получаем неопределённость вида \( \frac{0}{0} \), поэтому применим правило Лопиталя или разложим на множители. Разложим числитель и знаменатель на множители.
5. Числитель: \( x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 \)
6. Знаменатель: \( -2x^2 + 7x - 5 \). Корни квадратного трёхчлена найдём, решив уравнение \( -2x^2 + 7x - 5 = 0 \).
7. Дискриминант \( D = 7^2 - 4(-2)(-5) = 49 - 40 = 9 \).
8. Корни: \( x_1 = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2(-2)} = \frac{-7+3}{-4} = \frac{-4}{-4} = 1 \)
9. \( x_2 = \frac{-7 - \sqrt{9}}{2(-2)} = \frac{-7-3}{-4} = \frac{-10}{-4} = \frac{5}{2} \)
10. Таким образом, знаменатель раскладывается как \( -2(x-1)(x-\frac{5}{2}) = -(x-1)(2x-5) \)
11. Теперь подставим разложение в предел:
12. \[ \lim_{x\to 1} \frac{(x-1)^2}{-(x-1)(2x-5)} \]
13. Сократим \( (x-1) \):
14. \[ \lim_{x\to 1} \frac{x-1}{-(2x-5)} \]
15. Подставим \( x=1 \) ещё раз:
16. \[ \frac{1-1}{-(2(1)-5)} = \frac{0}{-(2-5)} = \frac{0}{-(-3)} = \frac{0}{3} = 0 \]

Ответ: 0.