7. Найдите производную:

Решение:

Найдем производную функции \( y = \frac{\arcsin x}{x} \).

1. Используем правило дифференцирования частного: \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).
2. Здесь \( u = \textrm{arcsin } x \) и \( v = x \).
3. Найдем производные \( u' \) и \( v' \):
4. \[ u' = (\textrm{arcsin } x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \]
5. \[ v' = (x)' = 1 \]
6. Подставим в формулу частного:
7. \[ y' = \frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \cdot x - \textrm{arcsin } x \cdot 1}{x^2} \]
8. Упростим числитель:
9. \[ y' = \frac{\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} - \textrm{arcsin } x}{x^2} \]
10. Приведем числитель к общему знаменателю:
11. \[ y' = \frac{\frac{x - \textrm{arcsin } x \sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}}}{x^2} \]
12. Умножим числитель на знаменатель дроби:
13. \[ y' = \frac{x - \textrm{arcsin } x \sqrt{1-x^2}}{x^2 \sqrt{1-x^2}} \]

Ответ: \( \frac{x - \textrm{arcsin } x \sqrt{1-x^2}}{x^2 \sqrt{1-x^2}} \).