8. В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ: АВ - 7,8, BC-10,4, CD-12, AD = 5 и АС=13. Докажите, что около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Решение:

Чтобы доказать, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность, нужно проверить, выполняется ли теорема Птолемея или сумма противоположных углов равна \( 180^{\circ} \). Однако, у нас даны стороны и одна диагональ, что позволяет нам проверить, являются ли треугольники, образованные диагональю, прямоугольными, так как \( AC = 13 \) может быть гипотенузой.

Рассмотрим треугольник \( \triangle ABC \).

Стороны: \( AB = 7.8 \), \( BC = 10.4 \), \( AC = 13 \).

Проверим теорему Пифагора: \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \)?

\( 7.8^2 + 10.4^2 = 60.84 + 108.16 = 169 \).

\( AC^2 = 13^2 = 169 \).

Так как \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \), то \( \triangle ABC \) — прямоугольный, с прямым углом \( \angle B = 90^{\circ} \).

Теперь рассмотрим треугольник \( \triangle ADC \).

Стороны: \( AD = 5 \), \( CD = 12 \), \( AC = 13 \).

Проверим теорему Пифагора: \( AD^2 + CD^2 = AC^2 \)?

\( 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \).

\( AC^2 = 13^2 = 169 \).

Так как \( AD^2 + CD^2 = AC^2 \), то \( \triangle ADC \) — прямоугольный, с прямым углом \( \angle D = 90^{\circ} \).

У четырёхугольника ABCD есть два противоположных прямых угла: \( \angle B = 90^{\circ} \) и \( \angle D = 90^{\circ} \).

Сумма противоположных углов равна \( \angle B + \angle D = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \).

Следовательно, около четырёхугольника ABCD можно описать окружность, так как сумма противоположных углов равна \( 180^{\circ} \).

Доказано.