8. В треугольнике ABC ∠B = 90°, ∠C = 60°, ВС = 2 см. На стороне АС отмечена точка D так, что угол ABD равен 30°. а) найдите длину отрезка AD. б) Докажите, что периметр треугольника АВС меньше 10 см

Решение:

Дано:

• △ABC — прямоугольный.
• ∠B = 90°.
• ∠C = 60°.
• BC = 2 см.
• D — точка на AC.
• ∠ABD = 30°.

Найти:

• а) Длину отрезка AD.
• б) Доказать, что периметр △ABC < 10 см.

а) Нахождение длины отрезка AD:

1. Найдем углы △ABC:
• ∠A = 180° - 90° - 60° = 30°.
• Значит, △ABC — прямоугольный треугольник с углами 30°, 60°, 90°.
2. Найдем длины сторон △ABC:
• BC = 2 см (дано).
• В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Угол A = 30°, значит, BC = AC/2.
• AC = 2 * BC = 2 * 2 = 4 см.
• Найдем катет AB. Можно использовать теорему Пифагора: AB² + BC² = AC²
• AB² + 2² = 4²
• AB² + 4 = 16
• AB² = 12
• AB = √12 = 2√3 см.
• Либо использовать тригонометрию: tg(C) = AB/BC => tg(60°) = AB/2 => √3 = AB/2 => AB = 2√3 см.
3. Рассмотрим △ABD:
• ∠A = 30°.
• ∠ABD = 30°.
• Значит, △ABD — равнобедренный с основанием AD.
• Следовательно, AD = BD.
4. Найдем ∠ADB — внешний угол △ABC.
• ∠ADB = ∠A + ∠B (внешний угол △ABC, если D лежит на AC, то это неверно. ∠ADB - это угол в △ABD.)
• В △ABD: ∠A = 30°, ∠ABD = 30°.
• ∠ADB = 180° - (∠A + ∠ABD) = 180° - (30° + 30°) = 180° - 60° = 120°.
5. Чтобы найти AD, мы можем использовать теорему синусов в △ABD, но нам нужна еще одна сторона или угол.
6. Рассмотрим △CBD:
• ∠C = 60°.
• ∠CBD = ∠ABC - ∠ABD = 90° - 30° = 60°.
• Значит, △CBD — равносторонний.
• Следовательно, CB = BD = CD = 2 см.
7. Так как △ABD равнобедренный (AD = BD), и BD = 2 см, то AD = 2 см.

б) Доказательство, что периметр △ABC < 10 см:

1. Периметр △ABC = AB + BC + AC.
2. AB = 2√3 см.
3. BC = 2 см.
4. AC = 4 см.
5. Периметр = 2√3 + 2 + 4 = 6 + 2√3 см.
6. Приближенное значение √3 ≈ 1.732.
7. Периметр ≈ 6 + 2 * 1.732 = 6 + 3.464 = 9.464 см.
8. Так как 9.464 < 10, то периметр △ABC < 10 см.

Ответ:

• а) AD = 2 см.
• б) Доказано.