6. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС и углом при вершине В, равным 36°, проведена биссектриса АК. Докажите, что треугольники СКА и АКВ равнобедренные..

Решение:

Дано:

• △ABC — равнобедренный, основание AC.
• ∠B = 36°.
• AK — биссектриса.

Доказать: △SKA и △AKB — равнобедренные.

Доказательство:

1. Так как △ABC равнобедренный с основанием AC, то ∠A = ∠C.
2. Сумма углов в △ABC: ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
3. 2∠A + 36° = 180°.
4. 2∠A = 180° - 36° = 144°.
5. ∠A = ∠C = 144° / 2 = 72°.
6. AK — биссектриса, значит, она делит ∠A пополам:
• ∠KAC = ∠KAB = ∠A / 2 = 72° / 2 = 36°.
7. Рассмотрим △AKB:
• ∠KAB = 36° (найдено выше).
• ∠B = 36° (по условию).
• Так как два угла в △AKB равны (∠KAB = ∠B), то этот треугольник равнобедренный с основанием AB. Следовательно, AK = KB.
8. Рассмотрим △SKA (или △AKC, так как S — это, вероятно, ошибка и имеется в виду C):
• ∠KAC = 36° (найдено выше).
• ∠C = 72° (найдено выше).
• ∠AKC — внешний угол △AKB. Внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним: ∠AKC = ∠KAB + ∠B = 36° + 36° = 72°.
• Итак, в △AKC: ∠C = 72° и ∠AKC = 72°.
• Так как два угла в △AKC равны (∠C = ∠AKC), то этот треугольник равнобедренный с основанием AC. Следовательно, AK = KC.

Вывод:

• △AKB равнобедренный, так как ∠KAB = ∠B = 36°.
• △AKC равнобедренный, так как ∠C = ∠AKC = 72°.

Примечание: В условии, вероятно, опечатка, и вместо S должно быть C.