7. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана ВМ. На ней взята точка О. Докажите равенство треугольников АМО и СМО.

Решение:

Дано:

• △ABC — равнобедренный с основанием AC.
• BM — медиана.
• O — точка на BM.

Доказать: △AMO = △CMO.

Доказательство:

1. Так как △ABC равнобедренный с основанием AC, то AB = BC.
2. BM — медиана к основанию, поэтому она также является высотой и биссектрисой.
• Следовательно, AM = MC (BM делит основание AC пополам).
• ∠AMB = ∠CMB = 90° (BM — высота).
3. Рассмотрим △AMO и △CMO:
• AM = MC (так как BM — медиана к основанию равнобедренного треугольника).
• ∠AMO = ∠CMO = 90° (так как BM — высота).
• MO — общая сторона.
• Следовательно, △AMO = △CMO по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников).

Вывод: Треугольники AMO и CMO равны.