8. Сторона FE прямоугольника FENH равна 287, а ∠EZN = 120° (где Z - точка пересечения диагоналей). Найдите радиус описанной около прямоугольника окружности.

Решение:

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Точка Z является центром описанной окружности.

Радиус описанной окружности равен половине диагонали.

Рассмотрим треугольник EZN. Углы ∠EZN и ∠FZH являются вертикальными, поэтому ∠FZH = 120°. Углы ∠EZN и ∠EZF смежные, поэтому ∠EZF = 180° - 120° = 60°.

В прямоугольнике диагонали равны: FN = EH.

Рассмотрим треугольник EFH. Он прямоугольный. По теореме Пифагора \( FH^2 = EF^2 + EH^2 \).

Рассмотрим треугольник EZH. Он равнобедренный, так как EZ = ZH (половины диагоналей). Углы при основании равны: ∠ZEN = ∠ZNE.

Угол ∠EZN = 120°, значит, ∠ZEN = ∠ZNE = (180° - 120°) / 2 = 30°.

Рассмотрим треугольник EFZ. Он равнобедренный, так как EF = EZ. Это неверно. EZ = ZF.

Рассмотрим треугольник EFZ. Угол ∠EZF = 60°.

Диагонали прямоугольника равны: \( FN = EH \). Точка Z - середина диагоналей, поэтому \( EZ = ZF = FZ = EN \).

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Точка Z является центром описанной окружности.

Радиус описанной окружности равен половине диагонали.

Рассмотрим треугольник FEN. Это прямоугольный треугольник. Диагональ FN является гипотенузой.

Рассмотрим треугольник EZH. Угол EZN = 120°. Углы при основании EZ = ZH. ∠ZEN = ∠ZNE = (180 - 120)/2 = 30°.

Рассмотрим треугольник EFZ. EZ = ZF. ∠EZF = 180 - 120 = 60°.

Треугольник EFZ равносторонний, так как имеет угол 60° и две равные стороны EZ=ZF. Значит EF = EZ = ZF = 60°. Это неверно, EF = 287.

Рассмотрим треугольник EFH. Угол FHE = 90°.

В прямоугольнике диагонали равны: FN = EH. Точка Z — центр окружности. Радиус R = EZ = ZF = FH = EN.

Рассмотрим треугольник EZN. Угол EZN = 120°. EZ = ZN (половины диагоналей). Значит, треугольник EZN равнобедренный.

Углы при основании: ∠ZEN = ∠ZNE = (180° - 120°) / 2 = 30°.

Рассмотрим треугольник EFZ. Угол EZF = 180° - 120° = 60°.

Поскольку EZ = ZF, треугольник EFZ равнобедренный. Так как угол при вершине Z равен 60°, то этот треугольник равносторонний. Следовательно, EF = EZ = ZF.

Но EF = 287. Следовательно, EZ = 287.

Радиус описанной окружности R = EZ = 287.

Ответ: 287.