8. Скорость прямолинейного движения материальной точки задается формулой v(t) = t² + 6t - 5. Найдите закон движения, если s(3)=14.

Решение:

Скорость \( v(t) \) является производной от закона движения \( s(t) \), то есть \( v(t) = s'(t) \).

Данная формула скорости: \( v(t) = t^2 + 6t - 5 \).

Чтобы найти закон движения \( s(t) \), нужно проинтегрировать функцию скорости:

\[ s(t) = \int v(t) dt = \int (t^2 + 6t - 5) dt \]

Выполняем интегрирование:

\[ s(t) = \frac{t^{2+1}}{2+1} + 6 \cdot \frac{t^{1+1}}{1+1} - 5t + C \]

\( s(t) = \frac{t^3}{3} + 6 \cdot \frac{t^2}{2} - 5t + C \)

\( s(t) = \frac{t^3}{3} + 3t^2 - 5t + C \)

Здесь \( C \) — произвольная постоянная интегрирования.

Нам дано условие \( s(3) = 14 \). Подставим \( t = 3 \) в найденную формулу закона движения и приравняем к 14, чтобы найти \( C \):

\[ s(3) = \frac{3^3}{3} + 3(3)^2 - 5(3) + C = 14 \]

\( s(3) = \frac{27}{3} + 3(9) - 15 + C = 14 \)

\( s(3) = 9 + 27 - 15 + C = 14 \)

\( 36 - 15 + C = 14 \)

\( 21 + C = 14 \)

\( C = 14 - 21 \)

\( C = -7 \)

Теперь подставим найденное значение \( C \) обратно в формулу закона движения:

\[ s(t) = \frac{t^3}{3} + 3t^2 - 5t - 7 \]

Ответ: \( s(t) = \frac{t^3}{3} + 3t^2 - 5t - 7 \).