6. Объем параллелепипеда ABCD A₁B₁C₁D₁ равен 42. Найдите объем треугольной пирамиды ABDA₁.

Решение:

Объём параллелепипеда \( V_{параллелепипеда} = 42 \).

Треугольная пирамида ABDA₁ является частью параллелепипеда. Рассмотрим основание параллелепипеда — прямоугольник ABCD. Диагональ BD делит его на два равных треугольника: ABD и BCD.

Площадь треугольника ABD равна половине площади основания параллелепипеда: \( S_{ABD} = \frac{1}{2} S_{ABCD} \).

Объём пирамиды вычисляется по формуле \( V_{пирамиды} = \frac{1}{3} S_{основания} \cdot h \), где \( h \) — высота пирамиды.

Для пирамиды ABDA₁:

• Основание — треугольник ABD.
• Высота пирамиды, опущенная из вершины A₁, перпендикулярна плоскости основания ABCD, и равна высоте параллелепипеда \( h_{параллелепипеда} \).

Объём пирамиды ABDA₁:

\[ V_{ABDA_1} = \frac{1}{3} S_{ABD} \cdot h_{параллелепипеда} \]

Подставим \( S_{ABD} = \frac{1}{2} S_{ABCD} \):

\[ V_{ABDA_1} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} S_{ABCD} \right) \cdot h_{параллелепипеда} = \frac{1}{6} S_{ABCD} \cdot h_{параллелепипеда} \]

Мы знаем, что объём параллелепипеда \( V_{параллелепипеда} = S_{ABCD} \cdot h_{параллелепипеда} \).

Таким образом, объём пирамиды ABDA₁ равен:

\[ V_{ABDA_1} = \frac{1}{6} V_{параллелепипеда} \]

Подставляем данное значение объёма параллелепипеда:

\[ V_{ABDA_1} = \frac{1}{6} \cdot 42 = 7 \]

Ответ: 7.