3. Вычислите определённый интеграл: \( \int_{0}^{4} \left( \frac{2}{\sqrt{x}} + 6x^2 - 1 \right) dx \)

Решение:

Вычислим определённый интеграл:

\[ \int_{0}^{4} \left( \frac{2}{\sqrt{x}} + 6x^2 - 1 \right) dx \]

Сначала найдём первообразную для подынтегральной функции:

\( \int \frac{2}{\sqrt{x}} dx = \int 2x^{-\frac{1}{2}} dx = 2 \cdot \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} = 2 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 4x^{\frac{1}{2}} = 4\sqrt{x} \)

\( \int 6x^2 dx = 6 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 6 \cdot \frac{x^3}{3} = 2x^3 \)

\( \int -1 dx = -x \)

Первообразная \( F(x) \) равна \( 4\sqrt{x} + 2x^3 - x \).

Теперь вычислим определённый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

\[ \int_{0}^{4} \left( \frac{2}{\sqrt{x}} + 6x^2 - 1 \right) dx = \left[ 4\sqrt{x} + 2x^3 - x \right]_{0}^{4} \]

Подставим верхний предел интегрирования (4):

\[ 4\sqrt{4} + 2(4)^3 - 4 = 4 \cdot 2 + 2 \cdot 64 - 4 = 8 + 128 - 4 = 132 \]

Подставим нижний предел интегрирования (0):

\[ 4\sqrt{0} + 2(0)^3 - 0 = 0 + 0 - 0 = 0 \]

Вычтем значение в нижнем пределе из значения в верхнем пределе:

\[ 132 - 0 = 132 \]

Ответ: 132.