8. Скорость прямолинейного движения материальной точки задается формулой \(v(t) = 3t^2 +t-1\). Найдите закон движения, если \(s(2)=5\).

Решение:

Скорость \(v(t)\) является производной от закона движения \(s(t)\) по времени \(t\). Чтобы найти закон движения \(s(t)\), нужно проинтегрировать функцию скорости \(v(t)\).

\(s(t) = \int v(t) dt\)

\[ s(t) = \int (3t^2 + t - 1) dt \]

Интегрируем каждый член:

\[ s(t) = 3 \frac{t^{2+1}}{2+1} + \frac{t^{1+1}}{1+1} - 1 \cdot t + C \]

\[ s(t) = 3 \frac{t^3}{3} + \frac{t^2}{2} - t + C \]

\[ s(t) = t^3 + \frac{t^2}{2} - t + C \]

Где \(C\) — постоянная интегрирования.

Чтобы найти \(C\), воспользуемся условием \(s(2)=5\):

\[ s(2) = (2)^3 + \frac{(2)^2}{2} - 2 + C = 5 \]

\[ 8 + \frac{4}{2} - 2 + C = 5 \]

\[ 8 + 2 - 2 + C = 5 \]

\[ 8 + C = 5 \]

\[ C = 5 - 8 \]

\[ C = -3 \]

Теперь подставим найденное значение \(C\) в формулу закона движения:

\[ s(t) = t^3 + \frac{t^2}{2} - t - 3 \]

Ответ: \(s(t) = t^3 + \frac{t^2}{2} - t - 3\)