3. Вычислите определённый интеграл: \(\int_{1}^{2} \left(4\delta^{3} - \frac{3}{\delta^{2}} + 5\right) d\delta\)

Решение:

Вычислим определённый интеграл \(\int_{1}^{2} \left(4\delta^{3} - \frac{3}{\delta^{2}} + 5\right) d\delta\).

Сначала найдём первообразную для подынтегральной функции \(f(\delta) = 4\delta^{3} - 3\delta^{-2} + 5\).

Первообразная \(F(\delta)\) будет:

\[ F(\delta) = \int (4\delta^{3} - 3\delta^{-2} + 5) d\delta = 4\frac{\delta^{3+1}}{3+1} - 3\frac{\delta^{-2+1}}{-2+1} + 5\delta = 4\frac{\delta^{4}}{4} - 3\frac{\delta^{-1}}{-1} + 5\delta = \delta^{4} + 3\delta^{-1} + 5\delta = \delta^{4} + \frac{3}{\delta} + 5\delta \]

Теперь вычислим значение первообразной в верхнем и нижнем пределах интегрирования и найдём их разность:

\[ \int_{1}^{2} f(\delta) d\delta = F(2) - F(1) \]

\[ F(2) = (2)^{4} + \frac{3}{2} + 5(2) = 16 + 1.5 + 10 = 27.5 \]

\[ F(1) = (1)^{4} + \frac{3}{1} + 5(1) = 1 + 3 + 5 = 9 \]

\[ \int_{1}^{2} f(\delta) d\delta = 27.5 - 9 = 18.5 \]

Ответ: 18.5