7. Решите уравнение \(\log_4(5+x)=\log_4(4-x)+1\)

Решение:

Для решения уравнения \(\log_4(5+x)=\log_4(4-x)+1\) выполним следующие шаги:

1. Перепишем уравнение, приведя его к одному основанию логарифма. Единицу представим как \(\log_4 4\):

\[ \log_4(5+x) = \log_4(4-x) + \log_4 4 \]

Используя свойство логарифма \(\log_b x + \log_b y = \log_b (xy)\), правая часть уравнения станет:

\[ \log_4(5+x) = \log_4((4-x) \cdot 4) \]

\[ \log_4(5+x) = \log_4(16-4x) \]

1. Так как основания логарифмов равны, приравняем аргументы:

\[ 5+x = 16-4x \]

1. Решим полученное линейное уравнение:

\[ x + 4x = 16 - 5 \]

\[ 5x = 11 \]

\[ x = \frac{11}{5} = 2.2 \]

1. Проверим область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмов. Аргументы логарифмов должны быть положительными:

\(5+x > 0 \implies x > -5\)

\(4-x > 0 \implies x < 4\)

Таким образом, ОДЗ: \(-5 < x < 4\).

Полученное значение \(x = 2.2\) удовлетворяет условиям ОДЗ.

Ответ: \(x = 2.2\)