8. Производная 1. Найти производную: 2. а) x³ - 2x² 3. б) 4x² - 3x + 5 в) (2x² + 1)(4 + x³) г) x²-1 x 4. Найти значение производной в точке хо: 5. а) y = 2x², xo = 4

Решение:

1. 1. Общие правила дифференцирования:

   • Производная константы равна 0: \( (c)' = 0 \).
   • Производная степенной функции: \( (x^n)' = nx^{n-1} \).
   • Свойство линейности: \( (cf(x))' = c f'(x) \) и \( (f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x) \).
   • Производная произведения: \( (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \).
   • Производная частного: \( \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2} \).

2. 2. а) x³ - 2x²

   
   \[ y' = (x^3 - 2x^2)' = (x^3)' - (2x^2)' = 3x^2 - 2(2x) = 3x^2 - 4x \]
   

3. 3. б) 4x² - 3x + 5

   
   \[ y' = (4x^2 - 3x + 5)' = (4x^2)' - (3x)' + (5)' = 4(2x) - 3 + 0 = 8x - 3 \]
   

   в) (2x² + 1)(4 + x³)

   
   
   Пусть \(f(x) = 2x^2 + 1\), \(g(x) = 4 + x^3\).
   Тогда \(f'(x) = 4x\) и \(g'(x) = 3x^2\).
   \[ y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = (4x)(4 + x^3) + (2x^2 + 1)(3x^2) \]
   \[ y' = 16x + 4x^4 + 6x^4 + 3x^2 = 10x^4 + 16x + 3x^2 \]
   

   г) x²-1
   x

   
   
   Пусть \(f(x) = x^2 - 1\), \(g(x) = x\).
   Тогда \(f'(x) = 2x\) и \(g'(x) = 1\).
   \[ y' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2} = \frac{(2x)(x) - (x^2 - 1)(1)}{x^2} \]
   
   \[ y' = \frac{2x^2 - x^2 + 1}{x^2} = \frac{x^2 + 1}{x^2} = 1 + \frac{1}{x^2} \]
   

4. 4. Найти значение производной в точке хо:

5. 5. а) y = 2x², xo = 4

   
   
   Сначала найдем производную функции:
   \[ y' = (2x^2)' = 4x \]
   
   Теперь подставим \(x_0 = 4\) в производную:
   \[ y'(4) = 4 \cdot 4 = 16 \]
   

Ответ: 2. а) \(3x^2 - 4x\); б) \(8x - 3\); в) \(10x^4 + 3x^2 + 16x\); г) \(1 + \frac{1}{x^2}\). 5. а) 16.