6. Упростите выражения: 1. sin 6x cos 3x 2. sin 4x-2 sin 2x cos 2x-1 3. cos 6x-cos³ 3x 1-cos³ 3x

Решение:

1. 
   

   1.

   
   \[ \frac{\sin 6x}{\cos 3x} = \frac{2 \sin 3x \cos 3x}{\cos 3x} = 2 \sin 3x \]
   
2. 
   

   2.

   
   \[ \frac{\sin 4x - 2 \sin 2x}{\cos 2x - 1} = \frac{2 \sin 2x \cos 2x - 2 \sin 2x}{\cos 2x - 1} = \frac{2 \sin 2x (\cos 2x - 1)}{-(\cos 2x - 1)} = -2 \sin 2x \]
   
3. 
   

   3.

   
   \[ \frac{\cos 6x - \cos^3 3x}{1 - \cos^3 3x} \]
   
   Используем формулу \(\cos 6x = 2\cos^2 3x - 1\).
   \[ \frac{2\cos^2 3x - 1 - \cos^3 3x}{1 - \cos^3 3x} \]
   
   Если \(\cos 3x = y\), то имеем:
   \[ \frac{2y^2 - 1 - y^3}{1 - y^3} = \frac{-(y^3 - 2y^2 + 1)}{-(y^3 - 1)} = \frac{y^3 - 2y^2 + 1}{y^3 - 1} \]
   
   Разложим числитель и знаменатель на множители.
   Числитель: \(y^3 - 2y^2 + 1\). Если \(y=1\), то \(1 - 2 + 1 = 0\). Значит, \((y-1)\) — множитель.
   \[ y^3 - y^2 - y^2 + 1 = y^2(y-1) - (y^2 - 1) = y^2(y-1) - (y-1)(y+1) = (y-1)(y^2 - y - 1) \]
   
   Знаменатель: \(y^3 - 1 = (y-1)(y^2 + y + 1)\).
   
   Тогда выражение примет вид:
   \[ \frac{(y-1)(y^2 - y - 1)}{(y-1)(y^2 + y + 1)} = \frac{y^2 - y - 1}{y^2 + y + 1} \]
   
   Подставляем \(y = \cos 3x\):
   \[ \frac{\cos^2 3x - \cos 3x - 1}{\cos^2 3x + \cos 3x + 1} \]