11. Вычислите интеграл ∫ (2x - 3) dx -3 2

Решение:

Чтобы вычислить определённый интеграл, сначала найдём первообразную функции \(f(x) = 2x - 3\).

Первообразная \(F(x)\) находится по правилу интегрирования степенной функции \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\) и свойству линейности интеграла.

\[ \int (2x - 3) dx = 2 \int x dx - \int 3 dx \]
\[ = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} - 3x + C \]

\[ = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 3x + C \]

\[ = x^2 - 3x + C \]

Теперь вычислим определённый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: \(\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)\).
В нашем случае \(a = -3\) и \(b = 2\). Первообразная \(F(x) = x^2 - 3x\) (константу \(C\) можно опустить при вычислении определённого интеграла).

\[ \int_{-3}^2 (2x - 3) dx = [x^2 - 3x]_{-3}^2 \]

\[ = (2^2 - 3 \cdot 2) - ((-3)^2 - 3 \cdot (-3)) \]

\[ = (4 - 6) - (9 - (-9)) \]

\[ = (-2) - (9 + 9) \]

\[ = -2 - 18 \]

\[ = -20 \]

Ответ: -20.