8. Построить отрезки АВ и CD и найти координаты их точки пересечения, если А (−3; 4), B (2; −1), C (−1; −2), D (4; 3).

Задание 8

Условие: Построить отрезки AB и CD и найти координаты точки их пересечения, если A (−3; 4), B (2; −1), C (−1; −2), D (4; 3).

Решение:

1. Находим уравнения прямых, на которых лежат отрезки.
2. Для отрезка AB:
• Используем формулу уравнения прямой, проходящей через две точки \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \): \[ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} \]
• Подставляем координаты точек A(−3; 4) и B(2; −1): \[ \frac{x - (-3)}{2 - (-3)} = \frac{y - 4}{-1 - 4} \]
• Упрощаем: \[ \frac{x + 3}{5} = \frac{y - 4}{-5} \]
• Умножим обе части на 5: \( x + 3 = -(y - 4) \)
• Раскроем скобки: \( x + 3 = -y + 4 \)
• Приведем к виду \( y = kx + b \): \( y = -x + 4 - 3 \)
• \( y = -x + 1 \)
3. Для отрезка CD:
• Подставляем координаты точек C(−1; −2) и D(4; 3): \[ \frac{x - (-1)}{4 - (-1)} = \frac{y - (-2)}{3 - (-2)} \]
• Упрощаем: \[ \frac{x + 1}{5} = \frac{y + 2}{5} \]
• Так как знаменатели равны, то и числители равны: \( x + 1 = y + 2 \)
• Приведем к виду \( y = kx + b \): \( y = x + 1 - 2 \)
• \( y = x - 1 \)
4. Находим точку пересечения прямых:
• Приравниваем уравнения прямых: \( -x + 1 = x - 1 \)
• Переносим члены с x в одну сторону, числа — в другую: \( 1 + 1 = x + x \)
• \( 2 = 2x \)
• \( x = 1 \)
• Теперь найдем y, подставив x = 1 в любое из уравнений прямой. Возьмем \( y = x - 1 \): \( y = 1 - 1 = 0 \)
5. Проверка: Подставим \( x = 1, y = 0 \) во второе уравнение \( y = -x + 1 \): \( 0 = -1 + 1 \), что верно.
6. Важно: нужно убедиться, что точка пересечения (1; 0) лежит на обоих отрезках.
• Для отрезка AB: x меняется от -3 до 2. x=1 попадает в этот диапазон.
• Для отрезка CD: x меняется от -1 до 4. x=1 попадает в этот диапазон.

Ответ: Точка пересечения имеет координаты (1; 0).