8. Периметр прямоугольника равен 92 см. Если длину увеличить на 3 см, а ширину уменьшить на 1 см, площадь станет равна 504 см². Найдите стороны.

Решение:

1. Пусть $$l$$ — длина прямоугольника, $$w$$ — ширина.
2. Периметр $$P = 2(l + w) = 92$$. Отсюда $$l + w = 46$$, то есть $$l = 46 - w$$.
3. Новая длина: $$l' = l + 3 = (46 - w) + 3 = 49 - w$$.
4. Новая ширина: $$w' = w - 1$$.
5. Новая площадь $$S' = l' \times w' = (49 - w)(w - 1)$$.
6. По условию $$S' = 504$$ см².
7. Составим и решим уравнение:
• $$(49 - w)(w - 1) = 504$$
• $$49w - 49 - w^2 + w = 504$$
• $$-w^2 + 50w - 49 = 504$$
• $$-w^2 + 50w - 49 - 504 = 0$$
• $$-w^2 + 50w - 553 = 0$$
• $$w^2 - 50w + 553 = 0$$
8. Найдем дискриминант: $$D = (-50)^2 - 4 \times 1 \times 553 = 2500 - 2212 = 288$$.
9. $$w = \frac{50 \pm \sqrt{288}}{2} = \frac{50 \pm 12\sqrt{2}}{2} = 25 \pm 6\sqrt{2}$$.
10. Если $$w = 25 + 6\sqrt{2}$$, то $$l = 46 - (25 + 6\sqrt{2}) = 21 - 6\sqrt{2}$$.
11. Если $$w = 25 - 6\sqrt{2}$$, то $$l = 46 - (25 - 6\sqrt{2}) = 21 + 6\sqrt{2}$$.
12. Проверим условия: $$l$$ должна быть больше $$w$$.
13. $$21 + 6\sqrt{2} \approx 21 + 6 \times 1.414 = 21 + 8.484 = 29.484$$.
14. $$25 - 6\sqrt{2} \approx 25 - 8.484 = 16.516$$.
15. $$29.484 > 16.516$$.
16. Стороны: $$l = 21 + 6\sqrt{2}$$ см, $$w = 25 - 6\sqrt{2}$$ см.

Ответ: стороны прямоугольника $$21 + 6\sqrt{2}$$ см и $$25 - 6\sqrt{2}$$ см.