8. Отрезки АВ и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки АС и BD пересекаются в точке М. Найдите МС, если АВ = 11, CD = 55, AC =30.

Решение:

Рассмотрим треугольники \( \triangle ABM \) и \( \triangle CDM \).

Так как AB \( \parallel \) CD, то:

• \( \angle BAM = \angle DCM \) (накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC).
• \( \angle ABM = \angle CDM \) (накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей BD).
• \( \angle AMB = \angle CMD \) (вертикальные углы).

Следовательно, \( \triangle ABM \sim \triangle CDM \) по трем углам.

Отношение соответствующих сторон подобных треугольников равно:

\[ \frac{AB}{CD} = \frac{AM}{CM} = \frac{BM}{DM} \]

Нам известно, что AB = 11, CD = 55, AC = 30.

Из отношения сторон:

\[ \frac{AB}{CD} = \frac{AM}{CM} \]

\[ \frac{11}{55} = \frac{AM}{CM} \]

\[ \frac{1}{5} = \frac{AM}{CM} \]

Это значит, что \( CM = 5 \cdot AM \).

Также, AC = AM + MC.

Подставим \( AM = \frac{1}{5} CM \) в это уравнение:

\[ \frac{1}{5} CM + CM = 30 \]

\[ \frac{6}{5} CM = 30 \]

\[ CM = 30 \cdot \frac{5}{6} \]

\[ CM = 5 \cdot 5 \]

\[ CM = 25 \]

Ответ: 25.