8. Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 6 и 18. Отрезки AC и BD пересекаются в точке O. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

Решение:

В трапеции ABCD основания BC и AD параллельны: \( BC ‖ AD \).

Рассмотрим треугольники CBD и BDA:

1. Угол \( ∠ CBD \) и угол \( ∠ ADB \) являются накрест лежащими углами при параллельных прямых BC и AD и секущей BD. Следовательно, \( ∠ CBD = ∠ ADB \).
2. Угол \( ∠ BDA \) и угол \( ∠ DBC \) являются накрест лежащими углами при параллельных прямых BC и AD и секущей BD. Следовательно, \( ∠ BDA = ∠ DBC \).
3. Угол \( ∠ BDC \) и угол \( ∠ ABD \) являются накрест лежащими углами при параллельных прямых BC и AD и секущей BD. Следовательно, \( ∠ BDC = ∠ ABD \).

Поскольку \( BC ‖ AD \), то накрест лежащие углы, образованные секущими AC и BD, равны:

\[ ∠ ACB = ∠ CAD \]

\[ ∠ CBD = ∠ ADB \]

Рассмотрим треугольники CBD и BDA:

• Угол \( ∠ CBD \) равен углу \( ∠ ADB \) (как накрест лежащие).
• Угол \( ∠ BDC \) равен углу \( ∠ ABD \) (как накрест лежащие).

Таким образом, два угла треугольника CBD равны двум углам треугольника BDA. По второму признаку подобия треугольников (по двум углам), треугольники CBD и BDA подобны.

Доказано.