8. Найти сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии (aₙ), если a₂₀ = 75, а разность d = 4

Решение:

Дано арифметическая прогрессия \( (a_n) \).

Известно:

• Двадцатый член прогрессии: \( a_{20} = 75 \).
• Разность прогрессии: \( d = 4 \).

Нужно найти сумму двадцати первых членов прогрессии \( S_{20} \).

Формула для n-го члена арифметической прогрессии: \( a_n = a_1 + (n-1)d \).

Сначала найдем первый член прогрессии \( a_1 \), используя данные для \( a_{20} \):

\( a_{20} = a_1 + (20-1)d \)

\( 75 = a_1 + 19 · 4 \)

\( 75 = a_1 + 76 \)

\( a_1 = 75 - 76 \)

\( a_1 = -1 \).

Теперь найдем сумму двадцати первых членов прогрессии по формуле:

\( S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \) или \( S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d) \).

Используем первую формулу, так как \( a_{20} \) нам известно:

\( S_{20} = \frac{20}{2} (a_1 + a_{20}) \)

\( S_{20} = 10 (-1 + 75) \)

\( S_{20} = 10 · 74 \)

\( S_{20} = 740 \).

Ответ: 740