7. Решите систему неравенств \( \begin{cases} x^2-4x+3 \leq 0 \\ |x-1| \leq 0 \end{cases} \).

Решение:

Решим каждое неравенство системы отдельно.

Первое неравенство: \( x^2 - 4x + 3 \leq 0 \).

1. Найдем корни квадратного трехчлена \( x^2 - 4x + 3 = 0 \).
2. Дискриминант \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \).
3. Корни: \( x_1 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1 \) и \( x_2 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3 \).
4. Так как парабола \( y = x^2 - 4x + 3 \) ветвями вверх, то \( x^2 - 4x + 3 \leq 0 \) при \( x \in [1; 3] \).

Второе неравенство: \( |x-1| \leq 0 \).

1. Модуль числа всегда неотрицателен, то есть \( |x-1| \geq 0 \) для любого \( x \).
2. Неравенство \( |x-1| \leq 0 \) выполняется только тогда, когда \( |x-1| = 0 \).
3. Это происходит при \( x-1 = 0 \), то есть \( x = 1 \).

Решение системы:

Нам нужно найти значения \( x \), которые удовлетворяют обоим условиям. Первый интервал: \( x \in [1; 3] \). Второе условие: \( x = 1 \).

Единственное значение, которое входит в оба множества решений, это \( x=1 \).

Ответ: x = 1