8) Найти производную функции y = tg(4x + x²)

Решение:

Для нахождения производной функции \( y = \operatorname{tg}(4x + x^2) \) воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции.

Пусть \( u = 4x + x^2 \). Тогда \( y = \operatorname{tg}(u) \).

Производная внешней функции \( \operatorname{tg}(u) \) по \( u \) равна \( \frac{1}{\cos^2 u} \).

Производная внутренней функции \( u = 4x + x^2 \) по \( x \) равна:

\( u' = (4x + x^2)' = 4 + 2x \)

По правилу цепи, производная \( y \) по \( x \) равна произведению производной внешней функции по \( u \) и производной внутренней функции по \( x \):

\[ y' = \frac{1}{\cos^2 u} \cdot u' = \frac{1}{\cos^2(4x + x^2)} \cdot (4 + 2x) \]

Ответ: \( y' = \frac{4 + 2x}{\cos^2(4x + x^2)} \).