6) Найти производную функции y = sin x / cos x

Решение:

Для нахождения производной функции \( y = \frac{\sin x}{\cos x} \) воспользуемся правилом дифференцирования частного: \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

Здесь \( u = \sin x \) и \( v = \cos x \).

Производные функций \( u \) и \( v \):

• \( u' = (\sin x)' = \cos x \)
• \( v' = (\cos x)' = -\sin x \)

Подставляем в формулу:

\[ y' = \frac{(\cos x)(\cos x) - (\sin x)(-\sin x)}{(\cos x)^2} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \]

Используя основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), получаем:

\[ y' = \frac{1}{\cos^2 x} \]

Также можно заметить, что \( y = \operatorname{tg} x \), производная от которой равна \( \operatorname{tg}' x = \frac{1}{\cos^2 x} \).

Ответ: \( y' = \frac{1}{\cos^2 x} \).