8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции: y = 2x3 + 3x² - 36х на [-4; 3]

Решение:

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке, нужно:

1. Найти производную функции.
2. Найти критические точки (где производная равна нулю или не существует).
3. Вычислить значения функции в критических точках, попадающих в отрезок, и на концах отрезка.
4. Сравнить полученные значения.

1. Найдем производную функции:

\[ y' = (2x^3 + 3x^2 - 36x)' = 6x^2 + 6x - 36 \]

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

\[ 6x^2 + 6x - 36 = 0 \]

Разделим на 6:

\[ x^2 + x - 6 = 0 \]

Найдем корни квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \]

Критические точки: \( x_1 = \frac{-1 + 5}{2} = 2 \) и \( x_2 = \frac{-1 - 5}{2} = -3 \).

Обе критические точки \( x = 2 \) и \( x = -3 \) принадлежат отрезку \( [-4; 3] \).

3. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:

Значения функции на концах отрезка:

\[ y(-4) = 2(-4)^3 + 3(-4)^2 - 36(-4) = 2(-64) + 3(16) + 144 = -128 + 48 + 144 = 64 \]

\[ y(3) = 2(3)^3 + 3(3)^2 - 36(3) = 2(27) + 3(9) - 108 = 54 + 27 - 108 = 81 - 108 = -27 \]

Значения функции в критических точках:

\[ y(2) = 2(2)^3 + 3(2)^2 - 36(2) = 2(8) + 3(4) - 72 = 16 + 12 - 72 = 28 - 72 = -44 \]

\[ y(-3) = 2(-3)^3 + 3(-3)^2 - 36(-3) = 2(-27) + 3(9) + 108 = -54 + 27 + 108 = -27 + 108 = 81 \]

4. Сравним полученные значения:

Полученные значения функции: \( 64, -27, -44, 81 \).

Наибольшее значение функции равно \( 81 \) (достигается при \( x = -3 \)).

Наименьшее значение функции равно \( -44 \) (достигается при \( x = 2 \)).

Ответ: Наибольшее значение функции равно 81, наименьшее значение равно -44.