6. Решить логарифмическое неравенство: logs(x² - 3x + 2) ≥ 1

Решение:

Для начала найдём область допустимых значений (ОДЗ) логарифма. Подлогарифмическое выражение должно быть строго больше нуля:

\[ x^2 - 3x + 2 > 0 \]

Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 3x + 2 = 0 \):

\[ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2} \]

Корни: \( x_1 = \frac{3 - 1}{2} = 1 \) и \( x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2 \).

Так как парабола \( y = x^2 - 3x + 2 \) ветвями вверх, то \( x^2 - 3x + 2 > 0 \) при \( x < 1 \) или \( x > 2 \).

Теперь решим само неравенство. Поскольку основание логарифма \( 8 > 1 \), при переходе к показательной форме знак неравенства сохраняется:

\[ x^2 - 3x + 2 \ge 8^1 \]

\[ x^2 - 3x + 2 \ge 8 \]

\[ x^2 - 3x - 6 \ge 0 \]

Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 3x - 6 = 0 \):

\[ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 24}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{2} \]

Корни: \( x_3 = \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \) и \( x_4 = \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \).

Так как парабола \( y = x^2 - 3x - 6 \) ветвями вверх, то \( x^2 - 3x - 6 \ge 0 \) при \( x \le \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \) или \( x \ge \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \).

Теперь объединим решение неравенства с ОДЗ:

ОДЗ: \( (-\infty, 1) \cup (2, \infty) \)

Решение \( x^2 - 3x - 6 \ge 0 \): \( (-\infty, \frac{3 - \sqrt{33}}{2}] \cup [\frac{3 + \sqrt{33}}{2}, \infty) \).

Приблизительные значения корней: \( \sqrt{33} \approx 5.74 \).

\( x_3 = \frac{3 - 5.74}{2} = \frac{-2.74}{2} = -1.37 \).

\( x_4 = \frac{3 + 5.74}{2} = \frac{8.74}{2} = 4.37 \).

Пересечение ОДЗ и решения \( x^2 - 3x - 6 \ge 0 \):

\( x \le \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \) (так как \( -1.37 < 1 \))

\( x \ge \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \) (так как \( 4.37 > 2 \))

Ответ: \( x \in \left(-\infty; \frac{3 - \sqrt{33}}{2}\right] \cup \left[\frac{3 + \sqrt{33}}{2}; \infty\right) \).