8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции: y = 2x³ + 3x² - 12x - 3 на отрезке [-4; 3]

Решение:

Найдем наибольшее и наименьшее значение функции \( y = 2x^3 + 3x^2 - 12x - 3 \) на отрезке \( [-4; 3] \).

1. Найдем производную функции: \( y' = (2x^3 + 3x^2 - 12x - 3)' = 6x^2 + 6x - 12 \).
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
• \( 6x^2 + 6x - 12 = 0 \)
• Разделим на 6: \( x^2 + x - 2 = 0 \)
• Найдем корни квадратного уравнения: \( D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \).
• \( x_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \).
• \( x_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 - 3}{2} = -2 \).
3. Проверим, принадлежат ли критические точки отрезку [-4; 3]:
• \( x_1 = 1 \) принадлежит отрезку \( [-4; 3] \).
• \( x_2 = -2 \) принадлежит отрезку \( [-4; 3] \).
4. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:
• При \( x = -4 \): \( y = 2(-4)^3 + 3(-4)^2 - 12(-4) - 3 = 2(-64) + 3(16) + 48 - 3 = -128 + 48 + 48 - 3 = -128 + 96 - 3 = -32 - 3 = -35 \).
• При \( x = -2 \): \( y = 2(-2)^3 + 3(-2)^2 - 12(-2) - 3 = 2(-8) + 3(4) + 24 - 3 = -16 + 12 + 24 - 3 = -4 + 24 - 3 = 20 - 3 = 17 \).
• При \( x = 1 \): \( y = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 12(1) - 3 = 2 + 3 - 12 - 3 = 5 - 15 = -10 \).
• При \( x = 3 \): \( y = 2(3)^3 + 3(3)^2 - 12(3) - 3 = 2(27) + 3(9) - 36 - 3 = 54 + 27 - 36 - 3 = 81 - 39 = 42 \).
5. Сравним полученные значения:
• Наибольшее значение: \( 42 \) (при \( x = 3 \)).
• Наименьшее значение: \( -35 \) (при \( x = -4 \)).

Ответ: Наибольшее значение функции равно 42, наименьшее значение равно -35.