6. Решить логарифмическое неравенство: log₈(x² - 3x + 2) ≥ 1

Решение:

Решим логарифмическое неравенство \( \log_{8}(x^2 - 3x + 2) \ge 1 \).

1. ОДЗ (область допустимых значений): Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: \( x^2 - 3x + 2 > 0 \). Найдем корни квадратного трехчлена \( x^2 - 3x + 2 = 0 \). \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \). \( x_1 = \frac{3+1}{2} = 2 \), \( x_2 = \frac{3-1}{2} = 1 \). Таким образом, \( x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) \). Неравенство \( (x-1)(x-2) > 0 \) выполняется при \( x < 1 \) или \( x > 2 \).
2. Преобразуем неравенство: \( \log_{8}(x^2 - 3x + 2) \ge 1 \). Так как основание логарифма \( 8 > 1 \), то функция \( \log_{8} t \) возрастающая. Поэтому можно записать: \( x^2 - 3x + 2 \ge 8^1 \).
3. Решим полученное неравенство: \( x^2 - 3x + 2 \ge 8 \) \( \Rightarrow x^2 - 3x - 6 \ge 0 \). Найдем корни квадратного трехчлена \( x^2 - 3x - 6 = 0 \). \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 9 + 24 = 33 \). \( x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{2} \). Так как ветви параболы \( y = x^2 - 3x - 6 \) направлены вверх, то \( x^2 - 3x - 6 \ge 0 \) при \( x \le \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \) или \( x \ge \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \).
4. Объединим условия: Нам нужно пересечь решения ОДЗ \( (x < 1 \) или \( x > 2) \) и полученного неравенства \( (x \le \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \) или \( x \ge \frac{3 + \sqrt{33}}{2}) \).

Заметим, что \( \sqrt{33} \) примерно равно \( 5.7 \).

\( \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \approx \frac{3 - 5.7}{2} = \frac{-2.7}{2} = -1.35 \).

\( \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \approx \frac{3 + 5.7}{2} = \frac{8.7}{2} = 4.35 \).

Итак, условие \( x \le -1.35 \) или \( x \ge 4.35 \) пересекается с \( x < 1 \) или \( x > 2 \) следующим образом:

• \( x \le \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \) (так как \( -1.35 < 1 \))
• \( x \ge \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \) (так как \( 4.35 > 2 \))

Ответ: \( x \in \left( -\infty; \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \right] \cup \left[ \frac{3 + \sqrt{33}}{2}; +\infty \right) \).