8. Найдите значение выражения: \( \frac{a^{21} \cdot b^6}{(a \cdot b)^{18}} \) при \( a = 3 \) и \( b = \sqrt{3} \)

Дано:

• Выражение: \( \frac{a^{21} \cdot b^6}{(a \cdot b)^{18}} \)
• \( a = 3 \)
• \( b = \sqrt{3} \)

Решение:

1. Упрощение выражения: Используем свойство степеней \( (x · y)^n = x^n · y^n \) и \( \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} \).
2. \( \frac{a^{21} \cdot b^6}{(a · b)^{18}} = \frac{a^{21} \cdot b^6}{a^{18} · b^{18}} \)
3. \( = a^{21-18} · b^{6-18} \)
4. \( = a^3 · b^{-12} \)
5. \( = \frac{a^3}{b^{12}} \)
6. Подстановка значений: Теперь подставим данные значения \( a = 3 \) и \( b = \sqrt{3} \).
7. \( a^3 = 3^3 = 27 \)
8. \( b^{12} = (\sqrt{3})^{12} = (3^{1/2})^{12} = 3^{(1/2) · 12} = 3^6 \)
9. \( 3^6 = (3^3)^2 = 27^2 = 729 \)
10. Вычисление:
11. \( \frac{a^3}{b^{12}} = \frac{27}{729} \)
12. Сокращение дроби: Заметим, что 729 делится на 27. \( 729 ÷ 27 = 27 \).
13. \( \frac{27}{729} = \frac{1}{27} \)

Ответ: \( \frac{1}{27} \)