8. Найдите все корни уравнения $$\lg (10x) \cdot \lg (0.1x) = 3$$.

Решение:

Используем свойства логарифмов: \( \lg(ab) = \lg a + \lg b \) и \( \lg(\frac{a}{b}) = \lg a - \lg b \).

\[ \lg(10x) = \lg 10 + \lg x = 1 + \lg x \]
\[ \lg(0.1x) = \lg(10^{-1}x) = \lg 10^{-1} + \lg x = -1 + \lg x \]

Подставим в исходное уравнение:

\[ (1 + \lg x)(-1 + \lg x) = 3 \]

Пусть \( y = \lg x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ (1 + y)(-1 + y) = 3 \]\[ y^2 - 1 = 3 \]\[ y^2 = 4 \]\[ y = \pm 2 \]

Теперь найдём \( x \) из \( y = \lg x \):

• Если \( y = 2 \), то \( \lg x = 2 \Rightarrow x = 10^2 = 100 \).
• Если \( y = -2 \), то \( \lg x = -2 \Rightarrow x = 10^{-2} = 0.01 \).

Проверим корни:

• Для \( x = 100 \): \( \lg(10 \cdot 100) \cdot \lg(0.1 \cdot 100) = \lg(1000) \cdot \lg(10) = 3 \cdot 1 = 3 \). Верно.
• Для \( x = 0.01 \): \( \lg(10 \cdot 0.01) \cdot \lg(0.1 \cdot 0.01) = \lg(0.1) \cdot \lg(0.001) = -1 \cdot (-3) = 3 \). Верно.

Ответ: 100, 0.01.