6. Высота конуса равна половине образующей конуса. Найдите объем и площадь поверхности конуса, если радиус его основания равен 10 см.

Решение:

Пусть \( H \) — высота конуса, \( L \) — образующая, \( R \) — радиус основания. По условию \( H = \frac{1}{2} L \) и \( R = 10 \) см.

Связь между ними в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, радиусом и образующей:

\[ L^2 = R^2 + H^2 \]

Подставим \( H = \frac{1}{2} L \) и \( R = 10 \):

\[ L^2 = 10^2 + \left( \frac{L}{2} \right)^2 \]\[ L^2 = 100 + \frac{L^2}{4} \]

Решим уравнение относительно \( L \):

\[ L^2 - \frac{L^2}{4} = 100 \]\[ \frac{3L^2}{4} = 100 \]\[ L^2 = \frac{400}{3} \]\[ L = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3} \] см.

Теперь найдём высоту \( H \):

\[ H = \frac{1}{2} L = \frac{1}{2} \cdot \frac{20\sqrt{3}}{3} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \] см.

Объем конуса:

Формула объёма: \( V = \frac{1}{3} \pi R^2 H \).

\[ V = \frac{1}{3} \pi \cdot (10)^2 \cdot \frac{10\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{3} \pi \cdot 100 \cdot \frac{10\sqrt{3}}{3} = \frac{1000\sqrt{3}}{9} \pi \] см³.

Площадь поверхности конуса:

Формула площади боковой поверхности: \( S_{бок} = \pi R L \).

\[ S_{бок} = \pi \cdot 10 \cdot \frac{20\sqrt{3}}{3} = \frac{200\sqrt{3}}{3} \pi \] см².

Формула площади основания: \( S_{осн} = \pi R^2 \).

\[ S_{осн} = \pi \cdot (10)^2 = 100 \pi \] см².

Полная площадь поверхности: \( S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} \).

\[ S_{полн} = \frac{200\sqrt{3}}{3} \pi + 100 \pi = \pi \left( 100 + \frac{200\sqrt{3}}{3} \right) \] см².

Ответ: Объем $$V = \frac{1000\sqrt{3}}{9} \pi$$ см³, площадь поверхности $$S_{полн} = \pi \left( 100 + \frac{200\sqrt{3}}{3} \right)$$ см².