6. Высота конуса равна половине образующей конуса. Найдите объем и площадь поверхности конуса, если радиус его основания равен 10 см.

Дано:

Радиус основания конуса \( r = 10 \) см.

Высота конуса \( h \) равна половине образующей \( l \), то есть \( h = \frac{1}{2}l \).

Найти:

Объем конуса \( V \) и площадь поверхности \( S \).

Решение:

1. Найдем образующую \( l \) и высоту \( h \). Связь между радиусом, высотой и образующей конуса описывается теоремой Пифагора: \( l^2 = r^2 + h^2 \).
2. Подставим \( h = \frac{1}{2}l \) в уравнение: \( l^2 = r^2 + (\frac{1}{2}l)^2 \).
3. Решим уравнение относительно \( l \): \( l^2 = r^2 + \frac{1}{4}l^2 \)
4. \( l^2 - \frac{1}{4}l^2 = r^2 \)
5. \( \frac{3}{4}l^2 = r^2 \)
6. \( l^2 = \frac{4}{3}r^2 \)
7. \( l = \sqrt{\frac{4}{3}r^2} = \frac{2r}{\sqrt{3}} = \frac{2r\sqrt{3}}{3} \)
8. Теперь найдем высоту \( h \): \( h = \frac{1}{2}l = \frac{1}{2} \cdot \frac{2r\sqrt{3}}{3} = \frac{r\sqrt{3}}{3} \)
9. Подставим значение \( r = 10 \) см:
10. \( l = \frac{2 \cdot 10 \sqrt{3}}{3} = \frac{20\sqrt{3}}{3} \) см.
11. \( h = \frac{10\sqrt{3}}{3} \) см.
12. Найдем объем конуса по формуле \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \):
13. \( V = \frac{1}{3}\pi (10^2) \frac{10\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{3}\pi (100) \frac{10\sqrt{3}}{3} = \frac{1000\sqrt{3}\pi}{9} \) см³.
14. Найдем площадь боковой поверхности конуса по формуле \( S_{бок} = \pi r l \):
15. \( S_{бок} = \pi (10) \frac{20\sqrt{3}}{3} = \frac{200\sqrt{3}\pi}{3} \) см².
16. Найдем площадь основания конуса по формуле \( S_{осн} = \pi r^2 \):
17. \( S_{осн} = \pi (10^2) = 100\pi \) см².
18. Площадь полной поверхности конуса \( S = S_{бок} + S_{осн} \):
19. \( S = \frac{200\sqrt{3}\pi}{3} + 100\pi = \pi (\frac{200\sqrt{3}}{3} + 100) \) см².
20. \( S = 100\pi (\frac{2\sqrt{3}}{3} + 1) \) см².

Ответ: Объем конуса \( V = \frac{1000\sqrt{3}\pi}{9} \) см³. Площадь поверхности конуса \( S = 100\pi (1 + \frac{2\sqrt{3}}{3}) \) см².