8. Найдите первообразную функции f(x) = 4x + 1/2, график которой проходит через точку M(-1; 4)

Решение:

Сначала найдём общую первообразную для функции \( f(x) = 4x + \frac{1}{2} \).

Первообразная \( F(x) \) находится как интеграл от \( f(x) \):

\[ F(x) = \int (4x + \frac{1}{2}) dx \]

Интегрируем по частям:

\[ F(x) = 4 \int x dx + \frac{1}{2} \int dx \]

\[ F(x) = 4 \cdot \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2} x + C \]

\[ F(x) = 2x^2 + \frac{1}{2} x + C \]

где \( C \) — произвольная постоянная.

Теперь используем условие, что график первообразной проходит через точку \( M(-1; 4) \). Это означает, что при \( x = -1 \), \( F(x) = 4 \).

Подставим эти значения в уравнение первообразной:

\[ 4 = 2(-1)^2 + \frac{1}{2}(-1) + C \]

\[ 4 = 2(1) - \frac{1}{2} + C \]

\[ 4 = 2 - \frac{1}{2} + C \]

Решим для \( C \):

\[ C = 4 - 2 + \frac{1}{2} \]

\[ C = 2 + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \]

Теперь подставим найденное значение \( C \) в уравнение первообразной:

\[ F(x) = 2x^2 + \frac{1}{2} x + \frac{5}{2} \]

Ответ: \( F(x) = 2x^2 + \frac{1}{2} x + \frac{5}{2} \)