5. Решите уравнение 9^x - 8*3^x - 9 = 0

Решение:

Заметим, что \( 9^x = (3^2)^x = (3^x)^2 \). Сделаем замену переменной \( t = 3^x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ t^2 - 8t - 9 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение относительно \( t \):

1. Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 \]

2. Найдём корни \( t_1 \) и \( t_2 \):
• \( t_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9 \)
• \( t_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 10}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)

Теперь вернёмся к замене \( t = 3^x \):

1. \( 3^x = 9 \)
• Так как \( 9 = 3^2 \), то \( 3^x = 3^2 \). Следовательно, \( x = 2 \).
2. \( 3^x = -1 \)
• Это уравнение не имеет решений, так как показательная функция \( 3^x \) всегда положительна.

Ответ: \( x = 2 \)