№8. Найдите объём прямой призмы, если в её основании лежит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4, а площадь её полной поверхности равна 72.

Решение:

1. Найдем гипотенузу прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: \( c^2 = a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \), значит \( c = 5 \).
2. Площадь основания (прямоугольного треугольника) равна: \( S_{осн} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6 \).
3. Периметр основания равен: \( P_{осн} = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12 \).
4. Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту: \( S_{бок} = P_{осн} \cdot H = 12H \).
5. Площадь полной поверхности призмы равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности: \( S_{полн} = 2 S_{осн} + S_{бок} \).
6. Подставим известные значения: \( 72 = 2 \cdot 6 + 12H \)
7. \( 72 = 12 + 12H \)
8. \( 12H = 72 - 12 \)
9. \( 12H = 60 \)
10. \( H = \frac{60}{12} = 5 \). Высота призмы равна 5.
11. Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту: \( V = S_{осн} \cdot H = 6 \cdot 5 = 30 \).

Ответ: 30