8. Найдите наименьшее значение функции y = x³ - x² - 40x + 3 на отрезке [0; 4].

Решение:

Для нахождения наименьшего значения функции на отрезке, нужно найти её производную, приравнять её к нулю, чтобы найти критические точки, и сравнить значения функции в критических точках, лежащих на отрезке, и на концах отрезка.

1. Найдём производную функции \( y = x^3 - x^2 - 40x + 3 \):

\( y' = (x^3)' - (x^2)' - (40x)' + (3)' \)

\( y' = 3x^2 - 2x - 40 \)

2. Приравняем производную к нулю и найдём критические точки:

\( 3x^2 - 2x - 40 = 0 \)

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(3)(-40) = 4 + 480 = 484 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{484} = 22 \)

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 22}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 22}{2 \cdot 3} = \frac{-20}{6} = -\frac{10}{3} \]

3. Определим, какие из критических точек попадают на отрезок \( [0; 4] \).

Точка \( x_1 = 4 \) лежит на отрезке (является его правым концом).

Точка \( x_2 = -\frac{10}{3} \) не лежит на отрезке \( [0; 4] \), так как она отрицательна.

4. Теперь вычислим значения функции в критической точке, которая лежит на отрезке, и на концах отрезка:

- На правом конце отрезка \( x = 4 \):

\( y(4) = (4)^3 - (4)^2 - 40(4) + 3 = 64 - 16 - 160 + 3 = 48 - 160 + 3 = -112 + 3 = -109 \)

- На левом конце отрезка \( x = 0 \):

\( y(0) = (0)^3 - (0)^2 - 40(0) + 3 = 0 - 0 - 0 + 3 = 3 \)

5. Сравним полученные значения:

\( y(4) = -109 \)

\( y(0) = 3 \)

Наименьшее значение функции на отрезке \( [0; 4] \) равно -109.

Ответ: -109