7. Решите уравнение 4 + 6 cos x = -2.

Решение:

Дано уравнение:

\( 4 + 6 \cos x = -2 \)

Выделим \( \cos x \):

\( 6 \cos x = -2 - 4 \)

\( 6 \cos x = -6 \)

\( \cos x = \frac{-6}{6} \)

\( \cos x = -1 \)

Основное значение \( x \), для которого \( \cos x = -1 \), равно \( \pi \).

Общее решение уравнения \( \cos x = a \) имеет вид \( x = \pm \arccos(a) + 2\pi n \), где \( n \) — любое целое число.

В нашем случае \( a = -1 \), а \( \arccos(-1) = \pi \).

Следовательно, общее решение:

\[ x = \pm \pi + 2\pi n \]

Так как \( \pi \) и \( -\pi \) дают один и тот же результат при добавлении \( 2\pi n \) (например, \( -\pi + 2\pi = \pi \), \( \pi + 2\pi = 3\pi \) и \( -\pi + 2\pi(2) = 3\pi \)), то можно записать:

\[ x = \pi + 2\pi n \]

или

\[ x = (2n + 1)\pi \]

Ответ: \( x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \)