8 Какова вероятность того, что из шести отмеченных чисел в карточке «Спортлото» (6 из 49) 5 чисел будут выигрышными?

Решение:

В лотерее «Спортлото» (6 из 49) нужно угадать 6 номеров из 49. В карточке отмечено 6 чисел.

Сначала определим общее число возможных исходов — количество способов выбрать 6 выигрышных номеров из 49. Это число сочетаний:

\[ C_{49}^6 = \frac{49!}{6!(49-6)!} = \frac{49!}{6!43!} = \frac{49 \times 48 \times 47 \times 46 \times 45 \times 44}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 13,983,816 \]

Теперь определим число исходов, при которых в нашей карточке (с 6 отмеченными числами) окажется ровно 5 выигрышных чисел.

Это означает, что 5 чисел из нашей карточки должны совпасть с 5 выигрышными номерами, а 1 число из нашей карточки должно быть невыигрышным.

Число способов выбрать 5 выигрышных чисел из 6 отмеченных в карточке: \( C_6^5 = \frac{6!}{5!(6-5)!} = \frac{6!}{5!1!} = 6 \).

Число способов выбрать 1 невыигрышное число из оставшихся \( 49 - 6 = 43 \) номеров: \( C_{43}^1 = \frac{43!}{1!(43-1)!} = \frac{43!}{1!42!} = 43 \).

Таким образом, число благоприятных исходов (когда ровно 5 чисел из 6 отмеченных являются выигрышными) равно произведению этих двух сочетаний:

\[ N_{\text{благоприятные}} = C_6^5 \times C_{43}^1 = 6 \times 43 = 258 \]

Вероятность того, что 5 чисел из 6 отмеченных будут выигрышными, равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

\[ P(\text{ровно 5 выигрышных}) = \frac{N_{\text{благоприятные}}}{N_{\text{общие}}} = \frac{258}{13,983,816} \]

Упростим дробь:

\[ \frac{258}{13,983,816} \approx 0.000018449 \]

Ответ: \(\frac{258}{13983816}\) или приблизительно 0,00001845