8. Какая из данных функций y=x/x, y=(tg x)/x, y = cos x + sin x является четной?

Решение:

Функция называется четной, если \( f(-x) = f(x) \) для всех \( x \) из области определения.

1. Рассмотрим функцию \( y = \frac{x}{x} \).
• Область определения: \( x
  e 0 \).
• \( f(-x) = \frac{-x}{-x} = 1 \).
• \( f(x) = \frac{x}{x} = 1 \) (при \( x
  e 0 \)).
• Так как \( f(-x) = f(x) \), эта функция является четной.
2. Рассмотрим функцию \( y = \frac{\operatorname{tg} x}{x} \).
• Область определения: \( x
  e 0 \) и \( x
  e \frac{\pi}{2} + \pi k \) для целых \( k \).
• \( f(-x) = \frac{\operatorname{tg}(-x)}{-x} = \frac{-\operatorname{tg} x}{-x} = \frac{\operatorname{tg} x}{x} \).
• Так как \( f(-x) = f(x) \), эта функция является четной.
3. Рассмотрим функцию \( y = \cos x + \sin x \).
• Область определения: вся действительная ось.
• \( f(-x) = \cos(-x) + \sin(-x) = \cos x - \sin x \).
• \( f(x) = \cos x + \sin x \).
• \( f(-x)
  e f(x) \) и \( f(-x)
  e -f(x) \) (кроме \( x=0 \)), поэтому эта функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: функции \( y = \frac{x}{x} \) и \( y = \frac{\operatorname{tg} x}{x} \) являются четными.